основные положения МКР и МКЭ

Основные положения МКР и МКЭ

Метод конечных разностей. МКР, который исторически предше­ствовал развитию других численных методов, ориентирован на решение задач, описываемых уравнениями в частных производных. Применительно к решению задач теории предельного равновесия он широко использовался В. В. Соколовским, В. А. Флориным и др. Для расчетов напряженно-деформированного состояния оснований в нелинейной постановке он впервые у нас в стране был исполь­зован, по-видимому, в работе Е. Ф. Винокурова.

Идея МКР заключается в замене частных производных в диф­ференциальных уравнениях решаемой задачи отношениями разно­стей переменных, называемых конечными разностями.

Если задача явля­ется одномерной и описывает­ся дифференциальным уравне­нием, содержащим только пер­вую производную искомой фу­нкции р(х), то необходимо разделить интервал изменения аргумента х на конечное число участков, ограниченных узлами. Дифференциальные ура­внения задачи теперь можно преобразовать, используя соотношения типа, и запи­сать их для каждого узла. По­ставив соответствующие гра­ничные условия, мы придем к системе уравнений, число ко­торых равно числу неизвестных значений функции в узлах.

Поскольку определяющие дифференциальные уравнения содер­жат все необходимые константы (например, упругие характеристи­ки К и G в задачах теории упругости), то эти константы входят и в конечно-разностные соотношения.

В итоге дифференциальные уравнения краевой задачи заменяют­ся конечно-разностными соотношениями, объединяющимися в си­стему линейных алгебраических уравнений. Введение гра­ничных условий в виде фиксированых значений переменных или их производных на границах расчетной области делает систему уравнений определенной. Чаще всего в качестве неизвестных в зада­чах механики грунтов фигурируют перемещения, значения которых для каждого узла конечно-разностной сетки находятся в результате решения системы уравнений известными методами линейной алгеб­ры. Через найденные перемещения вычисляются относительные деформации и напряжения, т. е. задача о напряженно-деформиро­ванном состоянии оказывается решенной.