МКЭ на примере задачи о напря­женно-деформированном состоянии

Рассмотрим основную идею МКЭ на примере задачи о напря­женно-деформированном состоянии. Пусть имеется плоская расчетная область и требуется определить некоторую фун­кцию (р(х, у), непрерывно изменяющуюся в пре­делах этой области. МКЭ не ставит целью определить вид искомой функции, как это делается в аналитичес­ких решениях, а позволяет найти приближенные значе­ния этой функции в узлах, образуемых при конечно-элементной дискретизации расчетной области, в дан­ном случае с использовани­ем простейших треуголь­ных элементов. Таким образом, искомая функция (р(х, у) заме­няется дискретной моделью  -  ее значениями в узловых точках (Ф1; Ф2,Ф9). Закон изменения функции между узлами, т. е. в пределах элементов, можно задать в различном виде, Для этого непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом неко­торой степени (функцией элемента), определяемым через значе­ния этой величины в узлах элемента. Тогда окончательной аппрок­симацией непрерывной функции (р(х, у) будет служить совокуп­ность кусочно-гладких поверхностей (в данном случае плоских фи­гур), определенных на каждом элементе.

Наилучшее приближение к точному решению достигается мини­мизацией некоторого функционала, приводящей формулировку за­дачи к системе линейных алгебраических уравнений. Реше­ние этой системы позволяет определить приближенные значения искомой функции в узлах. Точность решения может быть повышена сгущением сетки конечных элементов или использованием более сложных функций элементов. Количество уравнений в системе, достигающее в практических задачах сотен и тысяч, зависит от числа узлов. Если искомая величина является скалярной (например, температура, гидравлический напор), то количество уравнений рав­но числу узлов N, если векторной (например, перемещение), то 2N или 3N соответственно для плоской или пространственной задач.

В приложении к задачам механики грунтов одна из общеприня­тых формулировок МКЭ предполагает отыскание поля перемеще­ний в некоторой области, вызванных силовыми воздействиями. Не приводя здесь вывод основного уравнения МКЭ, который подробно рассматривается в соответствующих учебниках и специальной лите­ратуре, запишем это уравнение в матричной форме.

Вектор {F} суммирует заданные воздействия от сосредоточен­ных, поверхностных и объемных сил и таким образом может быть определен. Матрица жесткости {К} формируется с использованием соотношения

где  - матрица жесткости элементами суммирование вы­полняется по специальным правилам для всей системы из Е элемен­тов. Матрица для каждого элемента однозначно определяется его конфигурацией, задаваемой координатами узлов, и характери­стиками деформационных свойств материала в пределах элемента.